Sisältö

• ohjeet
• vihjeitä
• varoitus

Epsilon-delta-määritelmä on osoitus siitä, että opiskelijat oppivat ensimmäisten laskuvuokattain. Tämä määritelmä on klassinen tapa osoittaa, että funktio lähestyy tiettyä kynnystä riippumattoman muuttujan lähestyessä tiettyä arvoa. Epsilon ja delta ovat Kreikan aakkosten neljäs ja viides kirjain. Näitä kirjeitä käytetään perinteisesti rajojen laskennassa ja niitä käytetään myös esittelyprosesseissa.

ohjeet

Epsilon-delta-määritelmää käytetään rajakysymysten ratkaisemiseen. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Aluksi on aloitettava muodollisen raja-arvon määrittely. Tässä määritelmässä todetaan, että "f (x): n raja on L, koska x lähestyy k: tä, jos kullekin epsilonille, joka on suurempi kuin nolla, on vastaava delta, joka on suurempi kuin nolla, niin että kun arvo x: n ja k: n välisen erotuksen absoluuttinen arvo on pienempi kuin delta, f (x): n ja L: n välisen erotuksen absoluuttinen arvo on pienempi kuin epsilon. "Epävirallisesti tämä tarkoittaa, että f (x): n raja on L, kun x lähestyy k: tä, jos on mahdollista tehdä f (x) niin lähellä L: tä kuin halutaan, lähestymällä x: tä k: hen. Epsilon-delta-esittelyn suorittamiseksi on osoitettava, että on mahdollista määritellä delta epsilonin suhteen, tietylle toiminnolle ja rajalle.

   
   

2. Käsittele lause "| f (x) - L | on pienempi kuin epsilon", kunnes saat | x - k | vähemmän kuin jokin arvo. Harkitse tätä "jotakin arvoa" delta. Muista muodollinen määritelmä ja keskeinen ajatus, jossa todetaan, että on tarpeen osoittaa, että missä tahansa epsilonissa on delta, joka luo niiden välille suhdetta, joka tekee määritelmän totta. Tästä syystä delta on määriteltävä epsilonin kannalta.

3. Ota huomioon seuraavat useat esimerkit, jotta voitte käsitellä määritelmän etenemistä. Esimerkiksi todistamaan, että 3x-1: n raja on 2, kun x lähestyy 1, katsomme k = 1, L = 2 ja f (x) = 3x-1. Varmista, että | f (x) - L | on pienempi kuin epsilon, tee | (3x - 1) - 2 | pienempi kuin epsilon. Tämä tarkoittaa, että | 3x - 3 | on pienempi kuin epsilon, joten 3 | x - 1 | on myös tai || x - 1 | on pienempi kuin epsilon / 3. Näin ollen ottaen huomioon, että delta = epsilon / 3, | f (x) - L | on pienempi kuin epsilon aina, kun | x - k | on pienempi kuin delta.

   
   

vihjeitä

• Todistuksen keskeinen osa on muuntaa f (x) - L x-k: ksi. Jos pidät tämän tavoitteen mielessä, loput esittelytapaukset toteutetaan täydellisesti.

varoitus

• Joissakin tilanteissa funktion raja voi osoittaa, että f (x) pyrkii äärettömään aina kun x pyrkii äärettömään. Epsilon-delta-määritelmä ei toimi näissä tapauksissa; näissä tilanteissa samanlainen esittely voidaan tehdä valitsemalla kaksi suurta lukua, M ja N, ja osoittavat, että f (x) voi ylittää M: n aiheuttamalla x: n ylittävän N: n ja M voi olla niin suuri kuin halutaan.